[MIT 머신비전 18강] 회전을 숫자 네 개로: 단위 사원수 | 로드리게스 공식·짐벌 락·회전의 공간

MIT OpenCourseWare 6.801 18강 원본 영상 (영어)

한 줄 요약: 회전은 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 까다로운 대상입니다. 오일러 각이나 회전 행렬에도 저마다 약점이 있는데, 단위 사원수(숫자 네 개, 길이 1)는 회전을 합치기도, 돌리기도, 최적화하기도 편합니다. 덕분에 지난 강의의 절대 방향 문제가 4×4 행렬의 고유벡터 하나로 풀립니다.

회전은 왜 까다로울까

지난 글에서 이동은 무게중심 차이로 쉽게 풀렸지만, 회전에서 막혔습니다. 회전이 이동과 다른 가장 큰 이유는 순서를 바꾸면 결과가 다르다는 점입니다.

책상 위의 책으로 직접 해 보세요. 같은 두 번의 90° 회전인데 순서만 바꿔도 책이 다른 자세가 됩니다.

이동은 “동쪽 1m, 북쪽 1m”를 어떤 순서로 해도 같은 곳에 도착하지만, 회전은 그렇지 않습니다. 그래서 데이터에 회전을 맞추는 일이 어렵습니다.

회전의 기본 성질 몇 가지입니다.

• 오일러 정리: 어떤 회전이든 움직이지 않는 점들의 직선, 즉 회전축이 하나 있습니다.
• 평행축 정리: 어떤 회전이든 원점을 지나는 회전 + 이동으로 나눌 수 있습니다. 그래서 회전과 이동을 따로 다룰 수 있습니다.
• 자유도: \(n\)차원에서 \(n(n-1)/2\)개, 3D에서는 3개입니다.
• 회전은 거리, 각도, 내적, 삼중곱, 그리고 좌우(손잡이 방향)를 보존합니다. 반사, 기울임, 크기 변화는 들어 있지 않습니다.
• 아주 작은 회전 속도(각속도)는 벡터처럼 그냥 더해지지만, 유한한 회전은 더해지지 않습니다.

회전을 나타내는 여러 방법

같은 회전을 적는 방법이 여럿 있고, 저마다 장단점이 있습니다.

표현	숫자 개수	약점
축 + 각도 \((\hat{\omega}, \theta)\)	4	두 회전을 합치는 방법이 없음
깁스 벡터 \(\hat{\omega}\tan(\theta/2)\)	3	\(\theta = 180°\)에서 무한대
오일러 각 (롤·피치·요)	3	순서 정의가 24가지 넘음, 합치기 어려움, 짐벌 락
회전 행렬 \(R\)	9	자유도는 3인데 숫자가 9개, 조건 6개를 지켜야 함
단위 사원수 \(\mathring{q}\)	4	조건 하나(길이 1), \(\pm\mathring{q}\)가 같은 회전

짐벌 락은 오일러 각에서 두 축이 겹쳐 버려 자유도 하나를 잃는 현상입니다. 비행기가 기수를 90° 들면 “요”와 “롤”이 같은 방향의 회전이 되어 구별할 수 없게 됩니다. 제어 시스템에서는 큰 사고로 이어질 수 있습니다.

그 밖에 지수 함수 표현, 구를 복소평면에 펼쳐 계산하는 방법, 물리학의 파울리 스핀 행렬도 있지만, 강의의 주인공은 사원수입니다.

로드리게스 공식: 축 둘레로 돌리기

축 \(\hat{\omega}\) 둘레로 \(\theta\)만큼 돌리는 공식부터 봅시다. 벡터 \(r\)을 축 방향 성분과 축에 수직인 성분으로 나누면 쉽습니다.

축 방향 성분은 회전해도 그대로이고, 수직 성분만 원을 따라 \(\theta\)만큼 돕니다.

\[r' = (\cos\theta)\, r + (1 - \cos\theta)(\hat{\omega} \cdot r)\,\hat{\omega} + (\sin\theta)(\hat{\omega} \times r)\]

• 둘째 항: 축 방향 성분 \((\hat{\omega} \cdot r)\hat{\omega}\)은 그대로 살아남습니다.
• 첫째·셋째 항: 수직 성분이 원 위에서 \(\cos\theta\), \(\sin\theta\)만큼 섞입니다. \(\hat{\omega} \times r\)은 수직 성분을 축 둘레로 90° 돌린 벡터입니다.

이 공식은 미분방정식에서도 나옵니다. 축 둘레로 돌 때 점의 속도는 \(\dot{r} = \hat{\omega} \times r\)이고, 이 외적을 행렬 \(\Omega\)로 쓰면 \(dR/d\theta = \Omega R\), 즉 \(R = e^{\theta\Omega}\)입니다. 테일러 전개에서 \(\Omega^3 = -\Omega\)를 쓰면 무한급수가 사인과 코사인으로 묶여

\[e^{\theta\Omega} = I + (\sin\theta)\,\Omega + (1 - \cos\theta)\,\Omega^2\]

정확히 로드리게스 공식이 됩니다. 하지만 이 형태로는 두 회전을 합치기가 여전히 불편합니다.

우리가 바라는 것

회전 표현에 바라는 성질을 정리하면 이렇습니다.

1. 벡터나 좌표계를 돌릴 수 있을 것
2. 두 회전을 합칠 수 있을 것
3. 군더더기 없고 직관적일 것
4. 계산이 빠를 것
5. 두 자세 사이를 보간하고, 여러 회전을 평균 낼 수 있을 것
6. 회전에 대해 미분할 수 있을 것 (최적화용)
7. 회전을 고르게 뽑을 수 있고, “회전들의 공간”이라는 개념이 있을 것

이걸 거의 다 만족하는 것이 사원수입니다.

해밀턴의 사원수

해밀턴은 복소수 \(a + bi\)를 넓혀 더하기·빼기·곱하기·나누기가 다 되는 수 체계를 찾았습니다. 성분 3개로는 불가능하다는 것을 깨닫고, 허수 단위를 세 개 둔 4성분 수를 만들었습니다.

\[i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\]

여기서 다음 규칙이 따라 나옵니다. 곱하는 순서를 바꾸면 부호가 바뀝니다.

\[ij = k,\quad jk = i,\quad ki = j, \qquad ji = -k,\quad kj = -i,\quad ik = -j\]

사원수는 실수 하나와 벡터 하나의 묶음 \(\mathring{q} = (q, \mathbf{q})\)로 쓰면 편합니다. 곱셈은

\[\mathring{p}\,\mathring{q} = (p, \mathbf{p})(q, \mathbf{q}) = \big(pq - \mathbf{p}\cdot\mathbf{q},\; p\mathbf{q} + q\mathbf{p} + \mathbf{p}\times\mathbf{q}\big)\]

외적 \(\mathbf{p}\times\mathbf{q}\) 때문에 순서를 바꾸면 결과가 다릅니다. 회전이 순서에 민감한 것과 딱 맞아떨어집니다.

자주 쓰는 성질들입니다.

• 켤레: \(\mathring{q}^* = (q, -\mathbf{q})\), 그리고 \((\mathring{p}\mathring{q})^* = \mathring{q}^*\mathring{p}^*\)
• 길이: \(\mathring{q}\mathring{q}^* = (q^2 + \mathbf{q}\cdot\mathbf{q},\, \mathbf{0})\), 길이가 1이면 단위 사원수
• 역수: \(\mathring{q}^{-1} = \mathring{q}^* / (\mathring{q}\cdot\mathring{q})\). 0만 아니면 언제나 나눌 수 있습니다.
• 결합법칙: \((\mathring{p}\mathring{q})\mathring{r} = \mathring{p}(\mathring{q}\mathring{r})\)
• 보통 벡터 \(\mathbf{r}\)은 실수 부분이 0인 사원수 \((0, \mathbf{r})\)로 씁니다.

사원수로 돌리기: \(\mathring{q}\,\mathring{r}\,\mathring{q}^*\)

벡터 \(\mathbf{r}\)을 돌리려면 앞에서 \(\mathring{q}\)를, 뒤에서 켤레 \(\mathring{q}^*\)를 곱합니다.

\[\mathring{r}' = \mathring{q}\,\mathring{r}\,\mathring{q}^*, \qquad \mathring{q} = \left(\cos\frac{\theta}{2},\; \sin\frac{\theta}{2}\,\hat{\omega}\right)\]

전개하면 벡터 부분이 \((q^2 - \mathbf{q}\cdot\mathbf{q})\mathbf{r} + 2(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r})\mathbf{q} + 2q(\mathbf{q}\times\mathbf{r})\)인데, \(q = \cos(\theta/2)\), \(\mathbf{q} = \sin(\theta/2)\hat{\omega}\)를 넣고 배각 공식을 쓰면 로드리게스 공식과 똑같아집니다. 각도가 절반으로 들어가는 이유가 여기 있습니다. \(\mathring{q}\)가 양쪽에서 한 번씩, 두 번 작용하기 때문입니다.

손으로 계산해 보면: \(x\)축 방향 벡터 \(\hat{x}\)를 \(z\)축 둘레로 90° 돌려 봅시다. \(c = \cos 45° = s = \sin 45° \approx 0.707\)이므로 \(\mathring{q} = (c,\, s\hat{z})\)입니다.

1. 앞에서 곱하기: \(\mathring{q}(0, \hat{x}) = \big(-s\,\hat{z}\cdot\hat{x},\; c\hat{x} + s\,\hat{z}\times\hat{x}\big) = (0,\; c\hat{x} + s\hat{y})\)
2. 뒤에서 켤레 \((c, -s\hat{z})\) 곱하기: 실수 부분은 \(s(c\hat{x} + s\hat{y})\cdot\hat{z} = 0\), 벡터 부분은 \(c(c\hat{x} + s\hat{y}) - s(c\hat{x} + s\hat{y})\times\hat{z} = (c^2 - s^2)\hat{x} + 2cs\,\hat{y}\)
3. 숫자를 넣으면 \(c^2 - s^2 = 0.5 - 0.5 = 0\), \(2cs = 2 \times 0.5 = 1\)이므로 결과는 \(\hat{y}\)

\(x\)축이 정확히 \(y\)축으로 돌아갔습니다.

이 연산은 내적과 삼중곱을 보존합니다. 즉 진짜 회전입니다. 그리고 가장 큰 장점은 합치기입니다.

\[\mathring{p}\,(\mathring{q}\,\mathring{r}\,\mathring{q}^*)\,\mathring{p}^* = (\mathring{p}\mathring{q})\,\mathring{r}\,(\mathring{p}\mathring{q})^*\]

\(\mathring{q}\)로 먼저 돌리고 \(\mathring{p}\)로 다시 돌린 것은, 두 사원수의 곱 \(\mathring{p}\mathring{q}\) 하나로 돌린 것과 같습니다. 결합법칙 덕분입니다.

반 바퀴의 비밀: \(\mathring{q}\)와 \(-\mathring{q}\)

\(-\mathring{q}\)로 돌려도 \((-\mathring{q})\mathring{r}(-\mathring{q})^* = \mathring{q}\mathring{r}\mathring{q}^*\)로 결과가 같습니다. 부호가 두 번 곱해져 사라지니까요.

물체를 한 바퀴(360°) 돌리면 제자리지만 사원수는 \(-\mathring{q}\)가 됩니다. 두 바퀴(720°)를 돌아야 사원수도 제자리입니다.

그래서 회전들의 공간은 이렇게 그릴 수 있습니다.

• 단위 사원수는 4D 공간의 단위구 위의 점입니다(3차원 곡면이라 \(S^3\)이라고 씁니다).
• 정반대 두 점 \(\pm\mathring{q}\)를 같은 회전으로 봅니다(수학에서는 사영 공간 \(P^3\)).
• 이 공간 위에서 회전을 고르게 뽑거나, 두 회전 사이의 거리를 잴 수 있습니다.

절대 방향을 사원수로 풀기

이제 지난 강의에서 막힌 문제로 돌아갑니다. 무게중심을 뺀 점들에 대해

\[\max_R \sum_{i=1}^{n} \mathbf{r}'_{r,i} \cdot R(\mathbf{r}'_{l,i})\]

를 풀어야 했습니다. 회전을 사원수로 바꾸고, 내적의 성질 \((\mathring{p}\mathring{q})\cdot\mathring{r} = \mathring{p}\cdot(\mathring{r}\mathring{q}^*)\)를 쓰면

\[\sum_i (\mathring{q}\,\mathring{r}'_{l,i}\,\mathring{q}^*)\cdot\mathring{r}'_{r,i} = \sum_i (\mathring{q}\,\mathring{r}'_{l,i})\cdot(\mathring{r}'_{r,i}\,\mathring{q}) = \mathring{q}^T \underbrace{\left(\sum_i \bar{R}_{l,i}^T R_{r,i}\right)}_{N} \mathring{q}\]

사원수 곱셈은 4×4 행렬 곱으로 쓸 수 있어서(\(\mathring{p}\mathring{q} = P\mathring{q} = \bar{Q}\mathring{p}\)), 측정값으로 만든 4×4 대칭 행렬 \(N\) 하나로 정리됩니다.

이제 문제는 “길이 1인 \(\mathring{q}\) 중에서 \(\mathring{q}^T N \mathring{q}\)를 가장 크게”입니다. 라그랑주 승수로 조건을 넣고 미분하면

\[\max_{\mathring{q}}\; \mathring{q}^T N \mathring{q} + \lambda(1 - \mathring{q}\cdot\mathring{q}) \quad\Longrightarrow\quad N\mathring{q} = \lambda\mathring{q}\]

\(N\)의 가장 큰 고유값에 해당하는 고유벡터가 답입니다. 17강의 관성 축처럼 또 고유벡터 문제가 되었습니다.

• \(N\)은 점들의 곱을 모은 3×3 행렬 \(M = \sum_i \mathbf{r}'_{l,i}\mathbf{r}'^T_{r,i}\)의 성분들로 만듭니다.
• 고유값은 4차 방정식 \(\lambda^4 + c_3\lambda^3 + c_2\lambda^2 + c_1\lambda + c_0 = 0\)의 근인데, \(c_3 = \text{tr}(N) = 0\), \(c_2 = -2\,\text{tr}(M^TM)\), \(c_1 = -8\det M\), \(c_0 = \det N\)로 깔끔하게 나옵니다.
• 4차 방정식까지는 근의 공식이 있으니 반복 없이 닫힌 해가 나옵니다.

같은 방법이 상대 방향, 카메라 보정, 로봇 팔 운동학, 우주선 자세 제어에도 쓰입니다.

계산 비용

합치기는 사원수가 빠르고, 벡터 하나 돌리기는 행렬이 빠릅니다.

• 합치기: 사원수 곱셈 16번·덧셈 12번 vs 행렬 곱셈 27번·덧셈 18번
• 벡터 돌리기: 사원수 15번·12번(효율적인 식 \(\mathbf{r}' = \mathbf{r} + 2q(\mathbf{q}\times\mathbf{r}) + 2\mathbf{q}\times(\mathbf{q}\times\mathbf{r})\) 기준) vs 행렬 9번·6번. 점을 많이 돌릴 때는 행렬로 바꿔 쓰면 됩니다.
• 다시 정규화하기: 회전을 여러 번 합치다 보면 반올림 오차로 조건이 조금씩 깨집니다. 사원수는 \(\mathring{q}/\sqrt{\mathring{q}\cdot\mathring{q}}\)로 끝이지만, 행렬은 \(M(M^TM)^{-1/2}\)처럼 훨씬 무거운 계산이 필요합니다.

정다면체의 회전 대칭은 유한한 회전 묶음(군)이 됩니다. 정사면체 12개, 정육면체·정팔면체 24개, 정십이면체·정이십면체 60개입니다. 이 묶음들은 회전의 공간을 고르게 나눠 뽑을 때 쓰이는데, 다음 두 강의에서 다시 나옵니다.

직접 해 보기

① 축과 각도로 돌리기. 축의 방향과 회전 각을 바꿔 보세요. 아래에 사원수 네 숫자가 바로 나옵니다.

회전 각을 360°로 놓으면 상자는 처음과 똑같은데 사원수는 \((-1, 0, 0, 0)\)입니다. 720°까지 가야 \((+1, 0, 0, 0)\)으로 돌아옵니다. 어떤 각도든 사원수의 길이는 늘 1.000입니다.

② 순서 바꿔 합치기. 회전 A와 B를 고르면, “A 먼저”는 \(\mathring{q}_B\mathring{q}_A\), “B 먼저”는 \(\mathring{q}_A\mathring{q}_B\)로 합쳐집니다.

처음 설정(x축 90°, z축 90°)에서는 두 곱이 (0.5, 0.5, 0.5, 0.5)와 (0.5, 0.5, −0.5, 0.5)로 다릅니다. 둘 다 축이 대각선 방향인 120° 회전이지만 축이 서로 다릅니다. 같은 축끼리 고르면 순서와 상관없이 같아지고, x축 180°와 y축 180°처럼 두 곱이 서로 \(-\mathring{q}\) 관계가 되어 결국 같은 회전이 되는 경우도 있습니다.

정리

• 회전은 순서에 민감하고, 오일러 각·회전 행렬·깁스 벡터는 각각 짐벌 락, 군더더기, 특이점 같은 약점이 있습니다.
• 단위 사원수 \(\mathring{q} = (\cos\frac{\theta}{2}, \sin\frac{\theta}{2}\hat{\omega})\)로 \(\mathring{q}\mathring{r}\mathring{q}^*\)를 계산하면 회전이 되고, 두 회전은 곱하기 한 번으로 합쳐집니다.
• \(\mathring{q}\)와 \(-\mathring{q}\)는 같은 회전이고, 회전의 공간은 정반대 점을 같게 본 4D 단위구입니다.
• 절대 방향의 회전은 4×4 대칭 행렬 \(N\)의 가장 큰 고유값의 고유벡터로 닫힌 해가 나옵니다.

참고: MIT 6.801/6.866 Machine Vision (Fall 2020), Berthold Horn · Ryan Sander · Tadayuki Yoshitake 강의 노트 (MIT OpenCourseWare, CC BY-NC-SA 4.0)